Conway's Doomsday

1. 为什么可以用 mod 7 计算星期？

星期每 7 天循环一次，所以日期和星期的关系本质上是一个 mod 7 问题。

如果某一天是 Saturday，编号为 6，那么 6 天之后就是：

6 + 6 = 12
12 mod 7 = 5
5 = Friday

所以只要知道某个已知日期的星期，就可以通过日期差推出另一个日期的星期。

Doomsday Algorithm 的核心就是为每一年找出一批容易记忆的“已知日期”。

2. 什么是 Doomsday？

在同一年中，下面这些日期总是落在同一个星期几：

3/14
4/4
6/6
8/8
10/10
12/12

5/9
9/5
7/11
11/7

这些日期共同落在的星期几，就叫这一年的 Doomsday。

例如，如果某一年的 Doomsday 是 Saturday，那么这一年里：

3/14 是 Saturday
4/4 是 Saturday
6/6 是 Saturday
8/8 是 Saturday
10/10 是 Saturday
12/12 是 Saturday
5/9 是 Saturday
9/5 是 Saturday
7/11 是 Saturday
11/7 是 Saturday

一月和二月稍微特殊，因为闰年会多出 2 月 29 日：

普通年：
1/3, 2/28

闰年：
1/4, 2/29

3. 为什么这些日期会落在同一个星期几？

这是因为它们之间相差的天数都是 7 的倍数。

例如：

4/4 到 6/6 相差 63 天
63 = 9 × 7

所以 4/4 和 6/6 一定是同一个星期几。

同理，6/6、8/8、10/10、12/12 之间的差距也都是 7 的倍数。奇数月份的日期则可以用口诀记忆：

I work from 9 to 5 at the 7-Eleven.

对应：

9/5, 5/9, 7/11, 11/7

这些日期不是随便选出来的，而是 Conway 选择的一组容易记忆、并且彼此相差 7 的倍数的日期。

4. 问题转化：只需要算出这一年的 Doomsday

如果我们知道 2026 年的 Doomsday 是 Saturday，那么计算 2026-06-12 就很简单。

因为六月的 Doomsday 日期是：

6/6

所以：

2026-06-06 是 Saturday
2026-06-12 比 6/6 晚 6 天
Saturday + 6 = Friday

因此：

2026-06-12 = Friday

所以整个算法真正要解决的问题是：

怎样快速算出某一年的 Doomsday？

5. 年份计算的结构

公历中，普通年有 365 天：

365 = 52 × 7 + 1

所以普通年会让下一年的同一日期星期数往后移动 1 天。

闰年有 366 天：

366 = 52 × 7 + 2

所以闰年会让下一年的同一日期星期数往后移动 2 天。

因此，在同一个世纪内部，从世纪初到某一年，Doomsday 的变化主要取决于：

经过了多少个年份
其中有多少个闰年

如果年份后两位是 y，那么从世纪初到这一年，大致贡献是：

y + floor(y / 4)

因为每经过一年，星期往后移动 1；每遇到一个闰年，再额外多移动 1。

不过 Conway 为了方便心算，把这个式子改写成了更适合口算的形式。

令：

q = floor(y / 12)
r = y mod 12
s = floor(r / 4)

则：

year offset = q + r + s

这个结果与：

y + floor(y / 4)

在 mod 7 意义下是一样的，但 ÷12 的版本更适合心算。

原因是：

y = 12q + r
floor(y/4) = 3q + floor(r/4)

所以：

y + floor(y/4)
= 12q + r + 3q + floor(r/4)
= 15q + r + floor(r/4)

而：

15q ≡ q (mod 7)

因为：

15 ≡ 1 (mod 7)

因此：

y + floor(y/4) ≡ q + r + floor(r/4) (mod 7)

这就是 Conway 年份心算法的来源。

6. 什么是 century anchor day？

现在还差一个起点。

如果只知道年份后两位 y，还不够。比如：

1926
2026
2126

它们的后两位都是 26，但它们属于不同世纪，所以起点不同。

每个世纪都有一个基准星期，叫 century anchor day。它表示该世纪起始年份的 Doomsday。例如 2000s 的 anchor day 是 2000 年的 Doomsday。

例如：

1900s → Wednesday = 3
2000s → Tuesday = 2
2100s → Sunday = 0
2200s → Friday = 5

也就是说：

1900 年的 Doomsday 是 Wednesday
2000 年的 Doomsday 是 Tuesday
2100 年的 Doomsday 是 Sunday
2200 年的 Doomsday 是 Friday

这个基准星期就是该世纪计算所有年份的起点。

7. century anchor day 为什么会循环？

公历的闰年规则是：

普通年份：能被 4 整除的是闰年
世纪年份：必须能被 400 整除才是闰年

所以：

1600 是闰年
1700 不是闰年
1800 不是闰年
1900 不是闰年
2000 是闰年

公历每 400 年完整循环一次。400 年的总天数是：

400 × 365 + 97 = 146097

而：

146097 = 20871 × 7

也就是说，400 年的总天数正好是 7 的倍数。

因此，公历中的星期模式每 400 年重复一次。century anchor day 也每 400 年重复一次。

这就是为什么：

1600s 和 2000s 的 century anchor day 相同
1700s 和 2100s 的 century anchor day 相同
1800s 和 2200s 的 century anchor day 相同
1900s 和 2300s 的 century anchor day 相同

常用表如下：

1600s → Tuesday = 2
1700s → Sunday = 0
1800s → Friday = 5
1900s → Wednesday = 3

2000s → Tuesday = 2
2100s → Sunday = 0
2200s → Friday = 5
2300s → Wednesday = 3

在 Gregorian calendar 且使用 Sunday = 0, Monday = 1, ..., Saturday = 6 的编号下，可以使用下面的公式。

设：

century = floor(year / 100)

则：

century anchor = (5 × (century mod 4) + 2) mod 7

例如 2026 年：

century = 20
20 mod 4 = 0

century anchor = (5 × 0 + 2) mod 7
               = 2
               = Tuesday

所以 2000s 的 century anchor day 是 Tuesday。

8. 完整算法

给定一个日期：

year-month-day

第一步，算 century anchor day：

century = floor(year / 100)
century anchor = (5 × (century mod 4) + 2) mod 7

第二步，取年份后两位：

y = year mod 100

第三步，算年份偏移：

q = floor(y / 12)
r = y mod 12
s = floor(r / 4)

year offset = q + r + s

第四步，算该年的 Doomsday：

year doomsday = century anchor + year offset (mod 7)

第五步，找到该月份的 Doomsday 日期。

普通年：

Jan 3
Feb 28
Mar 14
Apr 4
May 9
Jun 6
Jul 11
Aug 8
Sep 5
Oct 10
Nov 7
Dec 12

闰年：

Jan 4
Feb 29
其他月份不变

第六步，计算目标日期和该月份 Doomsday 日期的差：

offset = target day - month doomsday day

最后：

final weekday = year doomsday + offset (mod 7)

9. 例子：计算 2026-06-12

先算 century anchor day。

2026 属于 2000s：

century = 20
20 mod 4 = 0

century anchor = (5 × 0 + 2) mod 7
               = 2
               = Tuesday

再算年份后两位：

y = 26

使用 Conway 的年份心算法：

26 = 2 × 12 + 2

q = 2
r = 2
s = floor(2 / 4) = 0

year offset = 2 + 2 + 0 = 4

所以 2026 年的 Doomsday 是：

Tuesday + 4
= 2 + 4
= 6
= Saturday

六月的 Doomsday 日期是：

6/6

所以：

2026-06-06 是 Saturday
2026-06-12 比 6/6 晚 6 天

因此：

Saturday + 6
= 6 + 6
= 12
12 mod 7 = 5
5 = Friday

最终：

2026-06-12 = Friday = 5

10. 这个游戏训练的是什么？

这个游戏不是让你死记每个日期的答案，而是训练你快速完成四个步骤：

1. 找 century anchor day
2. 算 year doomsday
3. 找 month doomsday date
4. 用 mod 7 推出最终星期

练熟之后，你看到一个日期时，不需要查日历，也能在几秒内算出它是星期几。